F(23,24) = (χ^2(23)/23)/(χ(24)/24) 這是隨機變數間的關係.
也就是說, F 的分布, 是從兩個相互獨立隨機變數 (獨立地從
兩個卡方群體抽樣) 導出來的分布.
F 的臨界值, 並不能由兩個卡方臨界值得到. 因為產生的 F
值等於該臨界值的兩個卡方值配對, 有無限多種, 跟兩個卡
方分布的臨界值可說沒有關聯.
事實上, 如果 F 的分母自由度夠大,
F(α,r1,∞) = χ^2(α,r1)/r1
此例分母自由度 24 不夠大, 但 χ(α,23)/23=35.172/23=1.529,
離 F(α,23,24) = 1.993 有一段距離, 但比用兩個卡方臨界值的
比值來得接近多了.
一般而言, 分子自由度相同, 分母自由度愈大, 則 F 臨界值愈
接近分子的卡方臨界值與自由度相除結果. 這是因 F 與卡方
關係式中, 分母由於��由度不夠大, χ^2(r2)/r2 有變化, 使得 F
的分布比分母自由度為 ∞ 時更分散.
F(r1,r2) 與 F(r1,∞)=χ^2(r1)/r1 的比較, 就像 t 與 z (t分布與標
準常態分布) 的比較. 事實上, t^2(r) = F(1,r), z^2 = χ^2(1).
t(r) = z/√(χ^2(r)/r) 是一個標準常態變量與一個與 z 相獨立的
卡方變量所構成的. 由於 t 的分母是一個隨機變量, 所以 t 的
分布比標準常態變量分散, 所以 t 的臨界值絕對值比相同尾
巴機率的 z 臨界值絕對值來得大.
在初級統計談平均數推論時, 用 t 程序的場合我們說如果自
由度在30以上, 可以用 z 取代. 事實上就一般常用的尾巴機
率 (顯著水準) 而言, 自由度 30 的 t 的臨界值與 z 的臨界值
仍有約 5-7% 的相對差距. 如果對這個差距可忍受, 用 z 取
代 t 當然是沒問題的.
當然, 你不能用 z(α)/√(χ^2(α,r)/r) 來估計 t(α,r).
回到 F 分布. 比照 t 分布, 如果 F 的分母自由度 30 以上, 那
麼可能也可以用分子自由度的卡方臨界值除以自由度, 當作 F
臨界值的近似. 不過, 這誤差是多大我沒算過, 你可以找一個
F 數值表對照看看...通常 F 數值表都會有一欄是分母自由度
∞ 的 (也有分子自由度是 ∞ 的).
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