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123¹º²³  除 1024 的餘數
即 1024 ÷ 123¹º²³ 的餘數 = 1024

假設題 1) 是問 123¹º²³ 除(以) 1024 的餘數 :
    
 
1)  

123¹º²³  mod 1024

注意 1024 = 2¹º ,  故 φ(1024) = 512。
φ(1024) 表 (0 , 1 , 2 , 3 , ... 1023) 中與1024 互質的數之個數。

由歐拉(Euler)定理 :
對 (a , b) = 1 , 恆有 aᵠ⁽ᵇ⁾ ≡ 1 (mod a)。

故 123⁵¹² ≡ 1 (mod 1024)。
⇒
 123¹º²⁴≡ 1 (mod 1024)
 123  * 123¹º²³  ≡ 1 (mod 1024)
 
令 123¹º²³  ≡  n (mod 1024) ,

則 123n  ≡ 1 (mod 1024) ..... (1)
又 1024n  ≡ 0 (mod 1024) ... (2)

(2) - (1)*8 :
1024n - 123n*8  ≡  0 - 8 (mod 1024)
40n ≡ - 8 (mod 1024) ..... (3)

(1) - (3)*3 :
123n - 120n  ≡  1 + 24 (mod 1024)
3n  ≡  25 (mod 1024) ..... (4)

(3) - (4)*13 :
40n - 39n  ≡ - 8 - 25*13 (mod 1024)
n  ≡  - 333  ≡  1024 - 333  ≡  691 (mod 1024)
 
∴ 123¹º²³  ≡  n  ≡  691 (mod 1024)。

2) 

11²²²²²² (mod 23)

≡  ( 11²² )¹º¹º¹ (mod 23) 

由費馬(Fermat)小定理 (歐拉(Euler)定理中的 b 為質數時) 
知 11²² ≡ 1 (mod 23)。

∴ 11²²²²²²  ≡  ( 11²² )¹º¹º¹  ≡  1¹º¹º¹  ≡  1 (mod 23)。