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1.(設題意規定男女共舞)

(印象中)高中的期望值問題常可:a.依期望值的定義；b.依期望值的性質 解題。

a.依期望值的定義

求出各成對數目之機率，再求總期望值。

恰成1對之機率: C(4,1)*[3!-C(3,1)*2!+C(3,2)*1!-C(3,3)*0!]/4!=1/3
([...]內為3人之"錯列"，因數目小，亦容易直接得到其值=2)

恰成2對之機率: C(4,2)*[2!-C(2,1)*1!+C(2,2)*0!]/4!=1/4
([...]內為2人之"錯列"，因數目小，亦容易直接得到其值=1)

恰成4對之機率: 1/4!=1/24

所求期望值= 1*1/3 + 2*1/4 + 4*1/24= 1

b.依期望值的性質

利用期望值有"加成"的性質來解。

總成對數目的期望值
= 4夫(或婦)所提供的成對數目期望值總和
= 某夫(或婦)所提供的成對數目期望值*4 (因為每人"地位相等")
= (1/4)*1*4 (4個舞伴中，恰1人為配偶)
= 1

這個方法可以看出，無論幾對夫婦，(男女共舞時)成對數目的期望值皆= 1

2. 和上題一樣，都有"錯列"的成分。

建議板大記住"錯列公式":
n!*(1/2!-1/3!+1/4!...+(-1)^n*1/n!)，表n個相異物排n個位置，其中第k物不排第k位之方法數，這式子可用排容原理得到。

所求為2個"match"，4個不"match"(錯列)方法數
= C(6,2)*4!*(1/2!-1/3!+1/4!)
= 135

當然也可以逕用排容原理:
C(6,2)*[4!-C(4,1)*3!+C(4,2)*2!-C(4,3)*1!+C(4,4)*0!]
= 135

創作者介紹

方志遠

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