板大的構思如下:
4x^2+9y^2>= 2√(4x^2 *9y^2)=12xy=12/sinΘcosΘ=24/sin2Θ>=24(注意有2個>=符號)
至此沒錯，但:
"當sin2Θ=1最大時4x^2+9y^2有最小值24"
這裡錯了。因為當sin2Θ=1時，固然使右邊等號成立，但其對應的x,y卻不使左邊等號成立，所以4x^2+9y^2永遠不會=24(其要成立，必須兩個=均成立)，自然24不是其最小值(充其量只是個下界)。也就是，4x^2+9y^2>=24 並不是 "緊緻範圍"，雖然邏輯上此式正確(">="表大於"或"等於，即便等號永不成立)。我想這就是為何用算幾或柯西不等式時，最後要檢驗等號成立之條件是否合題意所求的原因(即使題目只求極值)。個人經驗:如果用上述不等式時，左及右式均不為常數而因此又用了一次以上不等號(如板大之方法)，除非剛好所有等號成立之條件相同，否則此法求不出極值(求不出緊緻範圍)，而須另闢他法。如本題棄算幾而就柯西，其使右式為常數。
板大可能被此題搞得很煩，分享一個故事:
31年前的大學聯考社會組數學計算題第一題: θ為正銳角，求(2/sinθ)+(3/cosθ)的最小值(占10分)。
這題當年數萬考生無人做出(依規定，社會組數學不可用微分)。有考生解法如下:
(2/sinθ)+(3/cosθ)>=2√(6/sinθcosθ)=2√(12/sin2θ)>=2√12=4√3...答
是不是與板大邏輯類似?錯在何處?是的，兩個">="不會同時成立等號，故4√3只是下界，不是緊緻範圍，所求永遠不等於4√3，是嗎?
如果當年題目為:θ為正銳角，求(1/sinθ)+(1/cosθ)的最小值。
這考生就得分了:
(1/sinθ)+(1/cosθ)>=2√(1/sinθcosθ)=2√(2/sin2θ)>=2√2...答
這裡，兩個">="同時成立等號，故2√2不只是下界，也是最小值。
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